La teoria dei giochi

Forse conoscete la teoria dei giochi grazie al film “A beautiful mind”, che narra la vita di John Nash. In realtà questa teoria fonda le sue radici ben prima di Nash: già nel 1654 il matematico e filosofo Pascal fu il primo a combinare il calcolo delle probabilità con il gioco d’azzardo. Il primo a chiamarla con il nome “Teoria dei giochi” fu invece il matematico e politico francese Emil Borel, mentre notevoli progressi vennero fatti in epoca moderna grazie al libro “Theory of Games and Economic Behavior” di John von Neumann e Oskar Morgenstern del 1944.

Prima di dare una definizione scientifica della teoria dei giochi, consideriamola semplicemente come la volontà di descrivere matematicamente e in maniera logico-razionale l’interazione e il comportamento degli uomini di fronte a scelte che implicano la spartizione di risorse e/o risultati attesi. Questo si contrappone all’approccio istintivo e sensoriale che accompagna spesso alcune decisioni. Molteplici sono le correnti che in ambito imprenditoriale e manageriale descrivono i pro e i contro di questi due differenti approcci e singolari i risultati di un contrapposto metodo automatico istintivo.

Ma veniamo all’approccio scientifico lineare: dalla definizione di borsa italiana, la teoria dei giochi è una teoria matematica che studia come un giocatore, tenendo conto delle azioni e delle reazioni di ognuno degli altri concorrenti, può massimizzare il proprio benessere. Questo tipo di strategia può essere utilizzata in veri e propri giochi, come possono essere gli scacchi, ma anche in molte altre situazioni economiche, politiche e di potere.

Le tipologie di giochi

Esistono due differenti tipologie di giochi: cooperativi e non cooperativi. La teoria dei giochi cooperativi si occupa di modelli matematici pensati per descrivere situazioni in cui i giocatori hanno interesse a cooperare per ottenere più di quanto potrebbero da soli. Ad esempio, si può pensare a situazioni in cui si mettano insieme risorse produttive per avere un vantaggio reciproco di abbassamento dei costi che diversamente non si riuscirebbe a raggiungere. Il fattore cruciale in questa tipologia di gioco è come suddividere i vantaggi ottenuti dalla cooperazione tra i partecipanti.

Nei giochi non cooperativi l’unità d’analisi è il singolo giocatore, che cerca di compiere le scelte per sé migliori date le regole del gioco e i vincoli posti dall’interazione strategica con altri giocatori. In maniera approssimativa possiamo dire che non possono essere fatti ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che expost conviene infrangere.

La categoria più semplice di giochi è rappresentata dai giochi sequenziali, cioè quelli in cui gli agenti non muovono simultaneamente ma sequenzialmente. Questi giochi vengono generalmente rappresentati con la forma estesa o albero del gioco. Ogni nodo rappresenta un punto decisionale, quindi la scelta tra delle mosse alternative; ogni braccio dell’albero rappresenta l’azione disponibile al momento della scelta. I giochi sequenziali sono generalmente giochi a informazione perfetta, poiché tutti i giocatori muovono sapendo le mosse precedenti o simultanee degli altri giocatori.

I giochi in cui tutti i giocatori muovono simultaneamente sono detti giochi simultanei. Questi giochi vengono generalmente rappresentati tramite una matrice che organizza i dati in righe e colonne in cui vengono distribuiti i payoffs, cioè i risultati (guadagni) attesi dall’interazione. I giochi simultanei sono generalmente giochi a informazione imperfetta, poiché i giocatori devono muovere senza conoscere le mosse precedenti o simultanee degli altri giocatori

Il gioco dell’ultimatum

Cerchiamo ora di capire come la struttura decisionale dei giochi sequenziali a informazione completa, cioè dove ogni giocatore conosce cosa farà l’altro. Per capirlo consideriamo l’esempio chiamato Gioco dell’ultimatum.

ll gioco avviene così:

• Su un tavolo ci sono 100 monete da 1 euro.
• Il giocatore I deve fare una proposta di spartizione, indicando quante monete vuole prendere (da 1 a 99).
• Dopo di che tocca a II che può scegliere fra due opzioni: accettare la proposta di spartizione di I; oppure rifiutarla.
• Nel caso in cui rifiuti, entrambi i giocatori non prendono nulla.

Il gioco essendo un gioco sequenziale molto semplice e soprattutto a informazione completa può essere strutturato facilmente con lo schema ad albero.

Con il meccanismo a ritroso è facile capire che la soluzione del gioco, la soluzione razionale, è quella che prevede la massimizzazione del beneficio del giocatore che sceglie per primo lasciano al giocatore due la decisione di prendere o lasciare 1 moneta.
Se l’ipotesi alla base fosse la razionalità dei giocatori, il giocatore II sceglierebbe chiaramente di avere una monetina piuttosto che niente.
Ma nella realtà effettiva sappiamo che la probabilità che II accetti, se I tiene per sé più di una settantina di monetine, è molto bassa. Una spiegazione di questi risultati empirici contrastanti con la predizione della teoria dei giochi è basata sul fatto che le preferenze del giocatore I e le preferenze del giocatore II non tengono conto solo del denaro, ma incorporano altri fattori quali ad esempio la propria idea di giustizia o ad esempio di rivalsa (“piuttosto che prendere una monetina preferisco farti perdere le tue 99 per non averne lasciate di più”).

Il dilemma del prigioniero

Il “Dilemma del prigioniero” è il più famoso esempio tra i giochi a informazione imperfetta. Viene simulata la situazione in cui due prigionieri sono ritenuti colpevoli, ma non si hanno prove; vengono quindi messi in stanze separate e viene chiesto loro di confessare, guidati dai seguenti payoff:

• Se entrambi confessano rimarranno in prigione entrambi 3 anni
• Se solo uno dei due confessa coinvolgendo l’altro e l’altro decide di stare zitto, chi collabora confessando uscirà la sera stessa mentre l’altro starà in prigione 8 anni.
• Se nessuno dei due collabora e confessa rimarranno in prigione entrambi 5 anni

Per provarlo abbiamo provato a risolvere il gioco con lo schema a mosse simultanee.

Nella matrice qui sopra è rappresentato il gioco in forma strategica o classica. Alla soluzione si arriva nel modo seguente: se il detenuto 1 decide di stare zitto, al detenuto 2 conviene confessare; ma se il detenuto 2 decide di confessare, anche al detenuto 1 conviene confessare. Lo stesso ragionamento si fa al contrario per il detenuto 2. L’equilibrio si trova dunque nella strategia in cui entrambi confessano: l’equilibrio di Nash si trova in 0,0. È evidente che esisterebbe una strategia migliore se potessero cooperare, che sarebbe quella di non confessare per entrambi. Ma per definizione un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che nessun giocatore può migliorare la propria vincita modificando la propria strategia in modo unilaterale.

Nel mondo dei conflitti armati e dei confini politico economici, le fondamenta del dilemma del prigioniero hanno evitato conflitti nucleare come la crisi di cuba nel 1962 con il modello conosciuto con l’acronimo MAD (mutually assured destruction, distruzione reciproca assicurata).

In conclusione

La teoria dei giochi classica offre uno strumento di grande utilità nelle decisioni strategiche in ambienti confinati all’assunzione della razionalità, ma con la nascita e lo sviluppo della neuroeconomia, l’approfondimento scientifico del funzionamento del cervello permette di viaggiare e comprendere in maniera più accurata il comportamento e rendere più prevedibili le decisioni o per lo meno i meccanismi che le guidano. Questo permette alla teoria di estendere il suo raggio d’azione per essere utilizzata in sempre più ambiti e situazioni.